Função Injetora
Entenda quando uma função é injetora e sua relação com funções quadráticas
O que é uma Função Injetora?
Uma função f: A → B é dita injetora (ou injetiva) quando elementos diferentes do domínio sempre produzem imagens diferentes no contradomínio. Em outras palavras, não existem dois valores diferentes de x que resultem no mesmo valor de y.
Definição formal:
Se x₁ ≠ x₂, então f(x₁) ≠ f(x₂)
ou equivalentemente
Se f(x₁) = f(x₂), então x₁ = x₂
Interpretação Visual
✓ Função Injetora
Cada elemento da imagem é alcançado por apenas um elemento do domínio:
x₁ → y₁
x₂ → y₂
x₃ → y₃
Todos os y são diferentes
✗ Função NÃO Injetora
Pelo menos um elemento da imagem é alcançado por dois ou mais elementos do domínio:
x₁ → y₁
x₂ → y₂
x₃ → y₂ ⚠️
y₂ é imagem de x₂ e x₃
Teste da Reta Horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal cortar seu gráfico em mais de um ponto.
Funções do Segundo Grau são Injetoras?
Resposta Curta: Depende do domínio!
Uma função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c com domínio ℝ (todos os reais) não é injetora devido à simetria da parábola.
Por que não é injetora em ℝ?
A parábola é simétrica em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice. Isso significa que para qualquer ponto à direita do vértice, existe um ponto à esquerda com a mesma altura (mesmo valor de y).
Exemplo:
f(x) = x²
f(2) = 4 e f(-2) = 4
Dois valores diferentes de x (2 e -2) produzem o mesmo resultado (4), portanto não é injetora.
Como torná-la injetora?
Podemos restringir o domínio para eliminar a simetria:
✓ Restrição 1: Apenas a parte crescente
Para a > 0: Domínio = [xv, +∞)
Consideramos apenas valores à direita do vértice (ou a partir dele)
✓ Restrição 2: Apenas a parte decrescente
Para a > 0: Domínio = (-∞, xv]
Consideramos apenas valores à esquerda do vértice (ou até ele)
Exemplos de Funções Injetoras
Função do 1º grau (linear)
f(x) = 2x + 3
Toda função do primeiro grau (com a ≠ 0) é sempre injetora. Seu gráfico é uma reta não horizontal.
Função cúbica
f(x) = x³
Funções ímpares (de grau ímpar) geralmente são injetoras em todo ℝ.
Função quadrática com domínio restrito
f(x) = x², com x ≥ 0
Ao restringir o domínio para apenas valores não-negativos, a função torna-se injetora.
Como Verificar se uma Função é Injetora
Método Algébrico
Suponha que f(x₁) = f(x₂) e tente provar que x₁ = x₂. Se conseguir, a função é injetora.
Teste da Reta Horizontal
Desenhe o gráfico e trace retas horizontais. Se nenhuma reta cortar o gráfico em mais de um ponto, a função é injetora.
Análise da Derivada
Se a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente em todo seu domínio (f'(x) > 0 ou f'(x) < 0), então é injetora.
Conceitos Relacionados
Função Sobrejetora
Todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Função Bijetora
É simultaneamente injetora e sobrejetora. Cada elemento do contradomínio é imagem de exatamente um elemento do domínio.
Função Inversa
Apenas funções bijetoras possuem função inversa. A injetividade é um requisito fundamental para a existência da inversa.
Explore Mais sobre Funções
Aprofunde seus conhecimentos sobre funções quadráticas e seus gráficos